Khó nhỉ

khó thì mình mới nhờ các bạn chứ

\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

\(\Leftrightarrow a+b=a+c+b+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow2c+2\sqrt{ab+bc+ca+c^2}=0\)

Theo giả thiết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

Khi đó \(c=0?\)

Nhầm chỗ nào nhắc mình với nha mình cảm ơn nhiều

mình vẫn không phát hiện bạn nhầm chỗ nào

hình như là mình thấy bạn nhầm chỗ nào r

Ta có \(a>0,b>0,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0,a+c\ge0,b+c\ge0\)

Do đó \(\frac{1}{c}=-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)< 0\Rightarrow c< 0\)

Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow bc+ac+ab=0\)

\(\Rightarrow c^2=c^2+bc+ac+ab\)

\(\Rightarrow c^2=c\left(c+b\right)+a\left(c+b\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow-c=\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\Rightarrow2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+2c=0\)

\(\Rightarrow a+b=a+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+b+c\)

\(\Rightarrow a+b=\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)(đpcm)

Hoặc cách 2 bạn có thể đi ngược lại giả thuyết.Chúc bạn học tốt.

Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)

Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)

Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.

Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.

Bài 3: Nó sao sao ấy ta?

Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}=4x\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{y-1}\ge4x-4y+4\)

Tương tự với hai phân thức còn lại, cộng 3 bđt lại ta đc: \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{z-1}+\frac{z^2}{x-1}\ge4+4+4=12\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=4\)

bài này đề a,b,c>1 chứ, thay a=b=c=1/4 thì sẽ rõ :)) mấy ông ko biết cứ k sai